Ukažte, že 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), pro n> 1?

Odpovědět:

Níže

Vysvětlení:

Chcete-li ukázat, že nerovnost je pravdivá, použijete matematickou indukci

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # pro #n> 1 #

Krok 1: Proveďte pravdu # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Od té doby # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, pak #LHS> RHS #. Proto je to pravda # n = 2 #

Krok 2: Předpokládejme, že platí # n = k # kde k je celé číslo a #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Krok 3: Kdy # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

tj # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # od (1) předpokladem

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Od té doby #k> 1 #, pak # -1 / sqrt (k + 1) <0 # a od té doby # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, pak # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # tak # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Krok 4: Důkazem matematické indukce je tato nerovnost platná pro všechna celá čísla # n # větší než #1#

Tato nerovnost je nepravdivá.

Např #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (cca 2.3) zrušit (> =) podproces (sqrt2 (3-1)) _ (cca 2.8) #

Rozpor.