Jak hodnotíte [(1 + 3x) ^ (1 / x)], když se x blíží nekonečnu?

Odpovědět:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

Vysvětlení:

Chystáte se použít šikovný trik, který využívá skutečnosti, že exponenciální a přirozené log funkce jsou inverzní operace. To znamená, že je můžeme aplikovat oba bez změny funkce.

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

Pomocí pravidla exponentu logů můžeme přivést sílu vpředu, což dává:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3x)) #

Exponenciální funkce je spojitá, takže to může napsat jako

# e ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x)) #

a teď se jen vypořádejte s limitem a nezapomeňte ho vrátit zpět do exponenciálu.

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / (x) #

Tento limit je neurčitý # oo / oo # tak používejte L'Hopital's.

#lim (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

Limit exponentu je tedy 0, takže celkový limit je # e ^ 0 = 1 #