Jak zjistíte Limit (ln x) ^ (1 / x), když se x blíží nekonečnu?

Odpovědět:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Vysvětlení:

Začneme s docela běžným trikem, když se zabýváme proměnnými exponenty. Můžeme si vzít přirozený záznam něčeho a pak ho zvýšit jako exponenciální exponenciální funkci, aniž by se změnila jeho hodnota, protože se jedná o inverzní operace - ale to nám umožňuje využívat pravidel logů výhodným způsobem.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Použití pravidla exponentu logů:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Všimněte si, že se jedná o exponent, který se mění jako # xrarroo # můžeme se na ni zaměřit a přesunout exponenciální funkci mimo:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Když se podíváte na chování přirozené logové funkce, všimnete si, že jak x inklinuje k nekonečnu, hodnota funkce také inklinuje k nekonečnu, ačkoli velmi pomalu. Když vezmeme #ln (ln (x)) # máme proměnnou uvnitř log funkce, která má tendenci k nekonečnu velmi pomalu, což znamená, že máme celkovou funkci, která má tendenci k nekonečnu EXTREMELY pomalu. Níže uvedený graf se vztahuje pouze na # x = 1000 # ale ukazuje extrémně pomalý růst #ln (ln (x)) # i ve srovnání s pomalým růstem #ln (x) #.

Z tohoto chování můžeme usuzovat #X# bude vykazovat mnohem rychlejší asymptotický růst a že limit exponentu bude tedy nulový. #color (blue) ("To znamená, že celkový limit = 1.") #

S tímto bodem se můžeme také vypořádat s pravidlem L'hopitalu. Potřebujeme limit být v neurčité formě, tj # 0/0 nebo oo / oo # proto kontrolujeme, že se jedná o tento případ:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Tak tomu skutečně je, takže limit se stává:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x))) / (d / (dx) x))) # #

Rozlišovat #y = ln (ln (x)) # uznáváme, že máme #y (u (x)) # a použít pravidlo řetězu

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) implikuje (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) znamená (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivace #X# je #1#. Limit se stane:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) # #

Řešili jsme, že obě funkce jmenovatele směřují k nekonečnu, takže máme

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #