Co je orthocenter trojúhelníku s vrcholy na O (0,0), P (a, b) a Q (c, d) #?

Odpovědět:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Vysvětlení:

Generalizoval jsem tuto starou otázku, místo abych se ptal na novou. Udělal jsem to předtím, než jsem se obrátil na otázku, zda se jedná o obvod a nic špatného se nestalo, takže pokračuji v seriálu.

Jako předtím jsem dal jeden vrchol na počátek, abych se pokusil udržet algebrovou schopnost. Libovolný trojúhelník lze snadno přeložit a výsledek snadno přeložit zpět.

Orthocenter je průsečíkem výšek trojúhelníku. Jeho existence je založená na teorémě že výšky trojúhelníku se protínají v bodě. Říkáme, že tři výšky jsou souběžný.

Ukážeme, že výšky trojúhelníku OPQ jsou souběžné.

Směrový vektor bočního OP je # P-O = P = (a, b), # což je jen fantastický způsob, jak říci, že svah je # b / a # (ale směrový vektor také funguje, když # a = 0 #). Směrový vektor kolmice dostaneme tak, že zde zaměníme souřadnice a negujeme # (b, -a). Kolmo je potvrzen nulovým bodovým výrobkem:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Parametrická rovnice nadmořské výšky z OP do Q je tedy:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # opravdu # t #

Nadmořská výška od OQ k P je podobně

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # opravdu # u #

Směrový vektor PQ je # Q-P = (c-a, d-b) #. Kolmá přes počátek, tj. Nadmořská výška od PQ, je tedy

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # opravdu #proti#

Podívejme se na setkání nadmořských výšek z OP a PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

To jsou dvě rovnice ve dvou neznámých, # t # a #proti#.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Vynásobíme první #A# a druhý # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Přidání, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Cesta chladná s bodovým produktem v čitateli a křížovým produktem ve jmenovateli.

Setkání je předpokládaným ortocentrem # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Pojďme najít setkání nadmořských výšek z OQ a PQ. Symetrií můžeme jen vyměnit #A# s #C# a # b # s # d #. Zavoláme výsledek # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Máme tyto dvě křižovatky jsou stejné, # (x ', y') = (x, y), # tak jsme dokázali, že výšky jsou souběžné. #quad sqrt #

Opodstatnili jsme pojmenování společné křižovatky orthocenter a našli jsme jeho souřadnice.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #