Jaké jsou kořeny jednoty? - Precalculus 2024

Kořen jednoty je komplexní číslo, které se při zvýšení na nějaké kladné číslo vrátí 1.

Je to složité číslo # z # který splňuje následující rovnici:

# z ^ n = 1 #

kde #nv NN #, což znamená, že n je přirozené číslo. Přirozené číslo je kladné celé číslo: (n = 1, 2, 3, …). Toto je někdy odkazoval se na jako počítání číslo a zápis pro to je # NN #.

Pro všechny # n #, může být více # z # hodnoty, které splňují tuto rovnici, a tyto hodnoty zahrnují kořeny jednoty pro toto n.

Když #n = 1 #

Kořeny jednoty: #1#

Když #n = 2 #

Kořeny jednoty: #-1, 1#

Když #n = 3 #

Kořeny jednoty # 1, (1 + sqrt (3) i) / 2, (1 - sqrt (3) i) / 2 #

Když #n = 4 #

Kořeny jednoty # -1, i, 1, -i #

Kořeny kvadratické rovnice 2x ^ 2-4x + 5 = 0 jsou alfa (a) a beta (b). (a) Ukažte, že 2a ^ 3 = 3a-10 (b) Najděte kvadratickou rovnici s kořeny 2a / b a 2b / a?

Viz. níže. Nejdříve najdeme kořeny: 2x ^ 2-4x + 5 = 0 Použití kvadratického vzorce: x = (- (- 4) + - sqrt ((- 4) ^ 2-4 (2) (5)) / 4 x = (4 + -sqrt (-24)) / 4 x = (4 + -2isqrt (6)) / 4 = (2 + -qq (6)) / 2 alfa = (2 + isqrt (6)) / 2 beta = (2-isqrt (6)) / 2 a) 2a ^ 3 = 3a-10 2 ((2 + isqrt (6)) / 2) ^ 3 = 3 ((2 + isqrt (6)) / 2 ) -10 2 ((2 + isqrt (6)) / 2) ^ 3 = (2 (2 + isqrt (6)) (2 + isqrt (6)) (2 + isqrt (6)) / 8 = 2 * (- 28 + 6isqrt (6)) / 8 barev (modrá) (= (- 14 + 3isqrt (6)) / 2) 3 ((2 + isqrt (6)) / 2) -10 = (6 + 3isqrt (6)) / 2-10 = (6 + 3isqrt (6) -20) / 2color (modrá) (= (- 14 + 3isqr

Je-li součet kořenů kostky jednoty 0 Pak dokažte, že Produkt kořenů kostky jednoty = 1 Kdokoliv?

"Viz vysvětlení" z ^ 3 - 1 = 0 "je rovnice, která dává kořeny krychle" "jednoty. Takže můžeme použít teorii polynomů k závěru, že" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(Newtonovy identity ). " "Pokud to chcete opravdu spočítat a zkontrolovat:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "NEBO" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1-sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1

Q.1 Pokud alfa, beta jsou kořeny rovnice x ^ 2-2x + 3 = 0, získáte rovnici, jejíž kořeny jsou alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 a beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

Q.1 Pokud alfa, beta jsou kořeny rovnice x ^ 2-2x + 3 = 0, získáte rovnici, jejíž kořeny jsou alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 a beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5? Odpověď daná rovnice x ^ 2-2x + 3 = 0 => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i Nechť alfa = 1 + sqrt2i a beta = 1-sqrt2i Teď nechť gamma = a ^ 3-3 a ^ 2 + 5 alfa -2 => gama = alfa ^ 3-3 + 2 + 3 alfa-1 + 2alfa-1 => gamma = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alpha => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 A nechť delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 => delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta