Co je krychle kostky (sqrt3 -i)?

Začnu převedením čísla na trigonometrický formulář:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Kořen kostky tohoto čísla může být zapsán jako:

# z ^ (1/3) #

Nyní s tímto vědomím používám vzorec pro n-tou mocninu komplexního čísla v trigonometrickém tvaru:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # dávat:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

V pravoúhlém tvaru: # 4.2-0.7i #

Nemohu zcela souhlasit s odpovědí Gió, protože je neúplná a také (formálně) špatná.

Formální chyba je v použití De Moivreův vzorec s exponenty bez integerů. De Moivreův vzorec může být aplikován pouze na celočíselné exponenty. Více podrobností na stránce Wikipedie

Tam najdete částečné rozšíření vzorce, se kterým se vypořádáte # n #-th kořeny (zahrnuje extra-parametr # k #): pokud # z = r (cos theta + i sin theta) #, pak

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # kde # k = 0, …, n-1 #.

Jeden (av jistém smyslu) velmi fundamentální vlastností komplexních čísel je to # n #-th kořeny mají … # n # kořeny (řešení)! Parametr # k # (který se liší mezi #0# a # n-1 #, tak # n # hodnot) nám umožňuje shrnout je do jednoho vzorce.

Takže kořeny krychlí mají tři řešení a nalezení jednoho z nich nestačí: je to prostě "#1/3# řešení “.

Níže uvedu svůj návrh řešení. Komentáře jsou vítány!

Jak Gió správně navrhl, první krok vyjadřuje # z = sqrt {3} -i # ve svém trigonometrickém tvaru #r (cos theta + i sin theta) #. Při řešení kořenů je trigonometrický formulář (téměř) vždy užitečným nástrojem (spolu s exponenciálním). Dostaneš:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Tak # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Nyní chcete spočítat kořeny. Podle výše uvedeného vzorce získáme:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

kde # k = 0, 1, 2 #. Existují tedy tři různé hodnoty # k # (#0#, #1# a #2#), které rodí tři různé složité kořeny # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # a # z_2 # jsou tři řešení.

Geometrická interpretace vzorce pro # n # kořeny je velmi užitečné kreslit řešení v komplexní rovině. Také spiknutí ukazuje velmi pěkně vlastnosti vzorce.

Především si můžeme všimnout, že všechna řešení mají stejnou vzdálenost # r ^ {1 / n} # (v našem příkladu #2^{1/3}#) od původu. Všechny leží na obvodu poloměru # r ^ {1 / n} #. Nyní musíme zdůraznit kde umístit je na tento obvod. Argumenty sine a cosine můžeme přepsat následujícím způsobem:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

"První" kořen odpovídá # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Všechny ostatní kořeny mohou být získány přidáním úhlu # (2pi) / n # rekurzivně do úhlu # theta / n # vzhledem k prvnímu kořenu # z_0 #. Takže se pohybujeme # z_0 # po obvodu rotací # (2pi) / n # radiánů (# (360 °) / n #). Body jsou tedy umístěny na vrcholech pravidelného # n #-gon. Vzhledem k jednomu z nich můžeme najít ostatní.

V našem případě:

kde je modrý úhel # theta / n = -pi / 18 # a purpurová je # (2pi) / n = 2/3 pi #.