Našli jste zkamenělou stehenní kost nějakého neznámého savce. Na základě velikosti kosti zjistíte, že by měla obsahovat asi 100 g uhlíku-14, když bylo zvíře naživu. Kost nyní obsahuje 12,5 g uhlíku-14. Jak stará je kost?

Odpovědět:

# "17,190 let" #

Vysvětlení:

Jaderný poločas rozpadu je jednoduše měřítkem toho, kolik času musí projít, aby vzorek radioaktivní látky poklesl na polovina původní hodnoty.

Jednoduše řečeno, v jednom poločase t polovina atomů v počátečním vzorku radioaktivní rozpad a ostatní polovina ne.

Vzhledem k tomu, že problém neposkytuje jaderný poločas uhlíku-14, budete muset udělat rychlé vyhledávání.

Naleznete jej jako

#t_ "1/2" = "5730 let" #

en.wikipedia.org/wiki/Carbon-14

Co vám to říká?

Počáteční vzorek uhlíku-14, # A_0 #, bude na polovinu s přechodem každý poločas, který je ve vašem případě #5730# let. Můžete tedy říci, že budete vlevo

# A_0 * 1/2 -> # po skončení jeden poločas rozpadu

# A_0 / 2 * 1/2 = A_0 / 4 -> # po skončení dva poločasy

# A_0 / 4 * 1/2 = A_0 / 8 -> # po skončení tři poločasy

# A_0 / 8 * 1/2 = A_0 / 16 -> # po skončení čtyři poločasy

# vdots #

a tak dále.

Tak to můžete říct #A#hmotnost radioaktivní látky, která zůstává nedotčen, bude rovno

#color (modrá) (A = A_0 * 1/2 ^ n) "" #, kde

# n # - počet poločasů rozpadu v daném časovém období

Takže víte, že začínáte # "100.0 g" # uhlíku-14, a skončí s # "12,5 g" # po uplynutí neznámého času.

To znamená, že můžete říci

#overbrace (12.5 barva (červená) (zrušit (barva (černá) ("g"))) ^ (barva (oranžová) ("zbývající hmotnost")) = overbrace (barva 100.0 (červená) (zrušit (barva (černá)) ("g")))) ^ (barva (fialová) ("počáteční hmotnost")) * 1/2 ^ n #

Změnit uspořádání

# 12.5 / 100.0 = 1/2 ^ n #

# 1/8 = 1/2 ^ n znamená 2 ^ n = 8 #

Od té doby #8 = 2^3#, budete mít

# 2 ^ n = 2 ^ 3 znamená n = 3 #

Tak, tři poločasy musí projít, aby se vzorek vzorku uhlíku-14 snížil z # "100.0 g" # na # "12,5 g" #. Od té doby

#color (blue) (n = "časové období" / "half-life" = t / t_ "1/2") #

to můžete říct

#t = n xx t_ "1/2" #

Ve vašem případě,

#t = 3 xx "5730 let" = barva (zelená) ("17 190 let") #

Odpověď by měl být zaokrouhleno na tři sig fig, ale nechám to jako v, jen pro dobrou míru.