Jaké jsou extrémy f (x) = 3x-1 / sinx na [pi / 2, (3pi) / 4]?

Odpovědět:

Absolutní minimum v doméně se vyskytuje při cca. # (pi / 2, 3.7124) #a absolutní max na doméně se vyskytuje při přibl. # (3pi / 4, 5.6544) #. Neexistují žádné lokální extrémy.

Vysvětlení:

Než začneme, musíme nás analyzovat a zjistit, zda #sin x # nabývá hodnoty #0# v kterémkoli bodě intervalu. #sin x # je nulová pro všechny takové x #x = npi #. # pi / 2 # a # 3pi / 4 # jsou oba menší než # pi # a větší než # 0pi = 0 #; tím pádem, #sin x # zde nebere hodnotu nula.

K tomu je třeba připomenout, že k extrému dochází buď tam, kde #f '(x) = 0 # (kritické body) nebo v jednom z koncových bodů. V tomto smyslu bereme derivaci výše uvedeného f (x) a nalézáme body, kde se tato derivace rovná 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Jak bychom měli tento poslední termín vyřešit?

Zvažte stručně vzájemného pravidla, která byla vyvinuta pro zvládnutí situací, jako je náš poslední termín zde, # d / (dx) (1 / sin x) #. Vzájemné pravidlo nám dovoluje obejít přímo pomocí pravidla řetězu nebo kvocientu tím, že uvedeme, že daná diferencovatelná funkce #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

když #g (x)! = 0 #

Když jsme se vrátili k naší hlavní rovnici, přestali jsme s ní;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Od té doby #sin (x) # je diferencovatelný, zde můžeme použít reciproční pravidlo:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Nastavením na hodnotu 0 dosáhneme:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

K tomu může dojít pouze tehdy, když #cos x / sin ^ 2 x = -3.. Odtud může být vhodné použít jednu z trigonometrických definic, konkrétně # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

To se podobá polynomu, s #cos x # nahrazuje naše tradiční x. Prohlašujeme tedy #cos x = u # a…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Použití kvadratického vzorce zde …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9)) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Naše kořeny se vyskytují na #u = (1 + -sqrt37) / 6 # podle tohoto. Jeden z těchto kořenů (# (1 + sqrt37) / 6 #) nemůže být kořenem #cos x # protože kořen je větší než 1 a # -1 <= cosx <= 1 # pro všechny x. Náš druhý kořen na druhé straně počítá jako přibližně #-.847127#. To je však menší než minimální hodnota #cos x # funkce může na intervalu (od #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Tím pádem, v doméně není žádný kritický bod.

V tomto smyslu se musíme vrátit k našim koncovým bodům a dát je do původní funkce. Děláme to #f (pi / 2) cca 3.7124, f (3pi / 4) cca 5.6544 #

Naše absolutní minimum v doméně je tedy přibližně # (pi / 2, 3.7124), # a naše maximum je přibližně # (3pi / 4, 5.6544) #