Jaké jsou lokální extrémy f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Odpovědět:

#(0.14414, 0.05271)# je lokální maximum

#(1.45035, 0.00119)# a #(-1.59449, -1947.21451)# jsou místní minima.

Vysvětlení:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

To se nekvalifikuje jako lokální extrém.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

K vyřešení kořenů této kubické funkce používáme Newton-Raphsonovu metodu:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Je to iterativní proces, který nás zavede blíže ke kořeni funkce. Nezahrnuji zde zdlouhavý proces, ale když jsme dorazili k prvnímu kořenu, můžeme provádět dlouhé dělení a řešit zbývající kvadratiku snadno pro ostatní dva kořeny.

Dostaneme následující kořeny:

# x = 0.14414, 1.45035 a -1.59449 #

Nyní provedeme první derivační test a zkusíme hodnoty vlevo a vpravo od každého kořene, abychom zjistili, kde je derivát pozitivní nebo negativní.

To nám řekne, který bod je maximum a který minimum.

Výsledek bude následující:

#(0.14414, 0.05271)# je lokální maximum

#(1.45035, 0.00119)# a #(-1.59449, -1947.21451)# jsou místní minima.

V níže uvedeném grafu můžete vidět jedno z minim:

Následující zobrazení zobrazuje maximální a ostatní minimum: