Jaké jsou dvě kladná čísla, jejichž součet prvního čísla je čtvercový a druhé číslo je 54 a produkt je maximální?

Odpovědět:

# 3sqrt (2) a 36 #

Vysvětlení:

Nechť jsou čísla # w # a #X#.

# x ^ 2 + w = 54 #

Chceme najít

#P = wx #

Můžeme změnit uspořádání původní rovnice #w = 54 - x ^ 2 #. Nahrazujeme

#P = (54 - x ^ 2) x #

#P = 54x - x ^ 3 #

Nyní vezměte derivaci s ohledem na #X#.

#P '= 54 - 3x ^ 2 #

Nechat #P '= 0 #.

# 0 = 54 - 3x ^ 2 #

# 3x ^ 2 = 54 #

#x = + - sqrt (18) = + - 3sqrt (2) #

Ale protože jsme uvedli, že čísla musí být pozitivní, můžeme to přijmout #x = 3sqrt (2) #. Nyní ověřujeme, že je to opravdu maximum.

V #x = 3 #, derivát je pozitivní.

V #x = 5 #, derivát je negativní.

Proto, #x = 3sqrt (2) # a # 54 - (3sqrt (2)) ^ 2 = 36 # při násobení maximálního produktu.

Doufejme, že to pomůže!