Je na křivce y = x ^ (x (1 + 1 / y)) nějaký bod (x, y), x> 0, při kterém je tečna rovnoběžná s osou x?

Je na křivce y = x ^ (x (1 + 1 / y)) nějaký bod (x, y), x> 0, při kterém je tečna rovnoběžná s osou x?
Anonim

Odpovědět:

Neexistuje žádný takový bod, pokud jde o mou matematiku.

Vysvětlení:

Nejprve se podívejme na podmínky tangenty, pokud je rovnoběžná s #X#-osa. Od té doby #X#- osa je vodorovná, každá linie rovnoběžná s ní musí být také vodorovná; takže to znamená, že tečna je vodorovná. A samozřejmě se vyskytují horizontální tečny, když se derivace rovná #0#.

Proto musíme nejprve začít tím, že najdeme derivaci této monstrózní rovnice, kterou lze dosáhnout pomocí implicitní diferenciace:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Pomocí pravidla součtu, pravidla řetězce, pravidla produktu, pravidla kvocientu a algebry máme:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … to bylo intenzivní. Nyní nastavíme derivaci rovnou #0# a uvidíme, co se stane.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Zajímavý. Nyní se připojme # y = -1 # a uvidíme, na co se dostaneme #X#:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Vzhledem k tomu, že se jedná o rozpor, dospěli jsme k závěru, že tyto podmínky nesplňují žádné body.

Odpovědět:

Taková tečna neexistuje.

Vysvětlení:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) ekv. y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Teď volá #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # my máme

#df = f_x dx + f_y dy = (částečný u) / (částečný x) dx + (částečný v) / (částečný y) dy = 0 # pak

# dy / dx = - ((částečný u) / (částečný x)) / ((částečný v) / (částečný y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y)) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Vidíme to # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # # tyto hodnoty však musí ověřit:

#f (x, y_0) = 0 # a

#f (x_0, y) = 0 #

V prvním případě # y_0 = 1 # my máme

# x ^ x = -1 # který není dosažitelný v reálné oblasti.

Ve druhém případě # x_0 = e ^ {- 1} # my máme

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # nebo

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

ale

# y / (y + 1) log_e y> -1 # takže ani skutečné řešení.

Závěrem není taková tečna.

Odpovědět:

Odpověď dr. Cawy K, x = 1 / e, je přesná.

Vysvětlení:

Navrhl jsem tuto otázku, abych tuto hodnotu získal přesně. Díky

Dr. Cawasi za rozhodující odpověď, která toto zjevení schvaluje

dvojitá přesnost y 'zůstává kolem tohoto intervalu 0. y je

spojitá a diferencovatelná při x = 1 / e. Jak obojí 17-sd

přesnost y a y 'jsou 0, v tomto intervalu kolem x = 1 / e to bylo a

předpokládá, že osa x se dotýká grafu mezi nimi. A teď je

se ukázala. Myslím, že dotek je transcendentální..