Odpovědět:
Tečna je rovnoběžná s #X# osa, když je svah (tedy # dy / dx #) je nula a je rovnoběžná s # y # osa, když svah (opět, # dy / dx #) jde do # oo # nebo # -oo #
Vysvětlení:
Začneme hledáním # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Nyní, # dy / dx = 0 # když je nuimerator #0#za předpokladu, že to také neznamená jmenovatele #0#.
# 2x + y = 0 # když #y = -2x #
Máme nyní dvě rovnice:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Řešit (nahrazením)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Použitím #y = -2x #, dostaneme
Tečna k křivce je vodorovná ve dvou bodech:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # a # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Všimněte si, že tyto dvojice také neznamenají jmenovatele # dy / dx # rovná #0#)
Chcete-li najít body, ve kterých je tečna svislá, nastavte jmenovatele # dy / dx # rovná tpo #0# (aniž by byl čitatel #0#).
Mohli bychom projít řešením, ale symetrií rovnice, kterou dostaneme:
# x = -2y #, tak
#y = + - sqrt21 / 3 #
a body na křivce, na které je tečna svislá, jsou:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # a # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Mimochodem. Protože máme technologii, zde je graf této otočené elipsy: (Všimněte si toho # + - sqrt21 / 3 ~ ~ + - 1.528 # které vidíte na grafu.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Odpovědět:
Používám pouze střední školu matematiku
Tečny rovnoběžné s osou x na:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) a (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tečny rovnoběžné s osou y na:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) a (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Vysvětlení:
Podíval jsem se na Jimovu odpověď, která vypadá jako pěkná, standardní léčba zubního kamene. Ale nemohl jsem si pomoct, ale cítil jsem se smutný pro všechny střední školáky venku v Sokratovské zemi, kteří chtějí najít tečny algebraických křivek, ale jsou stále ještě daleko od počtu.
Naštěstí mohou dělat tyto problémy pouze pomocí Algebry I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
To může být pro první příklad trochu komplikované, ale pojďme s tím. Zapisujeme křivku jako #f (x, y) = 0 # kde
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Pojďme vzít # (r, s) # jako bod #F#. Chceme to prozkoumat #F# u # (r, s) # tak píšeme
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Rozšiřujeme se, ale nerozlišujeme rozdíly # x-r # a # y-s #. Chceme je udržet neporušené, abychom mohli později experimentovat s odstraněním.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Řekli jsme # (r, s) # je zapnutý #F# tak #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Termíny jsme třídili podle stupně a můžeme experimentovat s aproximacemi #F# u # (r, s) # poklesem vyšších stupňů. Myšlenka je kdy # (x, y) # je blízko # (r, s) # pak # x-r # a # y-s # jsou malé a jejich čtverce a produkty jsou stále menší.
Pojďme jen vytvořit nějaké aproximace #F#. Od té doby # (r, s) # je na křivce, konstantní aproximace, klesající všechny rozdílové termíny, je
# f_0 (x, y) = 0 #
To není nijak zvlášť vzrušující, ale správně nám říká, že jsme blízko # (r, s) # poskytne hodnotu blízkou nule pro #F#.
Pojďme se dostat zajímavější a udržet lineární pojmy.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Když to nastavíme na nulu, dostaneme nejlepší lineární aproximaci #F# u # (r, s), # který je tečna na #F# v # (r, s). # Teď jsme někam.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Můžeme zvážit i další aproximace:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Jedná se o tečny vyššího řádu, ty, které vysokoškolští studenti sotva někdy dostanou. Už jsme překročili univerzitní kalkul.
Tam je více přiblížení, ale já jsem byl varován, že je stále dlouho. Teď, když jsme se dozvěděli, jak udělat kalkul pouze pomocí algebry I, udělejme problém.
Chceme najít body, kde je tečná čára rovnoběžná s #X# osa a # y # osa.
Našli jsme naši tečnou linii # (r, s) # je
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paralelně s #X# osa znamená rovnici #y = text {konstantní} #. Takže koeficient zap #X# musí být nula:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # je na křivce #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Od té doby # s = -2r # body jsou
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) a (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Podobně rovnoběžně s osou y znamená # 2s + r = 0 # které by měly jen swap x a y kvůli symetrii problému. Takže ostatní body jsou
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) a (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Kontrola.
Jak zkontrolovat? Udělejme si alfa graf.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Vypadá dobře. Počet na algebraických křivkách. Docela dobré pro střední školu.
