Jak zjistíte lineární aproximaci ke kořenu (4) (84)?

Odpovědět:

#root (4) (84) ~ ~ 3.03 #

Vysvětlení:

Všimněte si, že #3^4 = 81#, která je blízko #84#.

Tak #root (4) (84) # je o něco větší než #3#.

Pro získání lepší aproximace můžeme použít lineární aproximaci, a.k.a. Newtonovu metodu.

Definovat:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Pak:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

a udává přibližnou nulu # x = a # z #f (x) #, lepší aproximace je:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Takže v našem případě, uvedení # a = 3 #, lepší aproximace je:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

To je téměř přesné #4# významná čísla, ale pojďme citovat aproximaci jako #3.03#

Odpovědět:

#root (4) (84) ~ ~ 3.02778 #

Vysvětlení:

Všimněte si, že lineární aproximace poblíž bodu #A# lze zadat pomocí:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Pokud: #f (x) = kořen (4) (x) #

pak vhodnou volbou pro #A# bylo by # a = 81 # protože víme #root (4) 81 = 3 # přesně a je blízko #84#.

Tak:

#f (a) = f (81) = kořen (4) (81) = 3 #

Taky;

#f (x) = x ^ (1/4) # tak #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Proto se můžeme přiblížit (blízko #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~ ~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Tak:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Přesnější hodnota je #3.02740#

tak lineární aproximace je poměrně blízko.

Odpovědět:

#root 4 (84) ~ ~ 3.02bar7 #

Vysvětlení:

Můžeme říci, že máme funkci #f (x) = kořen (4) (x) #

a # root (4) (84) = f (84) #

Pojďme najít derivaci naší funkce.

Používáme mocenské pravidlo, které říká, že pokud #f (x) = x ^ n #, pak #f '(x) = nx ^ (n-1) # kde # n # je konstanta.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Přibližně # root (4) (84) #, snažíme se najít dokonalou čtvrtou mocninu nejbližší 84

Uvidíme…

#1#

#16#

#81#

#256#

Vidíme to #81# je naše nejbližší.

Teď najdeme tečnou linii naší funkce, když # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Toto je svah, který hledáme.

Pokusme se napsat rovnici tečné čáry ve formuláři # y = mx + b #

Co je # y # rovna, kdy # x = 81 #?

Uvidíme…

#f (81) = kořen (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Proto nyní máme:

# 3 = m81 + b # Víme, že svah, # m #, je #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Nyní můžeme vyřešit # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Proto je rovnice tečné čáry # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Nyní používáme 84 na místě #X#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Proto, #root 4 (84) ~ ~ 3.02bar7 #