Předpokládejme, že nemám vzorec pro g (x), ale vím, že g (1) = 3 a g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) pro všechny x. Jak mohu použít lineární aproximaci k odhadu g (0,9) a g (1,1)?

Mějte se mnou trochu, ale jedná se o rovnici svahu, zachycující linii založenou na 1. derivaci … A rád bych vás zavedl na cestu k dělat odpověď, ne jen dát odpověď …

Okay, než se dostanu k odpovědi, dovolím vám, abych (poněkud) vtipnou diskusi, kterou jsem měl v kanceláři, měl …

Já: "Dobře, waitasec … Nevíš g (x), ale víš, že derivace je pravdivá pro všechny (x) … Proč chceš dělat lineární interpretaci založenou na derivaci? integrál derivace, a vy máte originální vzorec … Správně?

OM: "Počkej, co?" čte otázku výše "Svatý moly, tohle jsem v letech neudělala!"

Tak to vede k diskusi mezi námi o tom, jak to integrovat, ale to, co profesor opravdu chce (pravděpodobně), není to, aby jste provedli reverzní operaci (což může být v některých případech opravdu HARD), ale pochopit co první derivace je vlastně.

Takže jsme se poškrábali na hlavách a proplétali se v našich kolektivních vzpomínkách a nakonec jsme se shodli na tom, že 2. derivát je lokální maxima / minima a první derivace (ta, o kterou se staráte) je sklon křivky v daném bodě.

Co to má společného s cenou červů v Mexiku? No, pokud uděláme předpoklad, že sklon zůstává relativně stálý pro všechny "blízké" body (abyste to věděli, musíte se podívat na křivku a použít dobrý úsudek založený na tom, co víte o věcech - ale protože to je to, co vaše prof. chce, to je to, co dostane!), pak můžeme udělat lineární interpolaci - což je přesně to, co jste požadovali!

Dobře, pak - maso z odpovědi:

Sklon (m) funkce na naší známé hodnotě je:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Svah ve známém bodě (x = 1) je tedy:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Nezapomeňte, že vzorec pro řádek (potřebný pro lineární interpolaci) je:

# y = mx + b #

To znamená, že pro body "blízko" k naší známé hodnotě můžeme hodnoty aproximovat jako čáru se sklonem m, a y-průsečík b. nebo:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Takže, co je # b #?

Řešíme to pomocí naší známé hodnoty:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Nyní známe vzorec pro čáru, která se blíží naší křivce ve známém bodě:

g (x#~=#1) = 4x-1

Takže naše přibližné body nezadáme, abychom získali přibližnou hodnotu, nebo:

#g (0.9) ~ = 4 (0.9) -1 #

#g (0.9) ~ = 3.6-1 #

#g (0.9) ~ = 2.6 #

a

#g (1,1) ~ = 4 (1,1) -1 #

#g (1,1) ~ = 4,4-1 #

#g (1,1) ~ = 3,4 #

Snad, že?