Jaké jsou lokální extrémy f (x) = sinx na [0,2pi]?

Odpovědět:

V # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # máme lokální maxima a na # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # máme místní minima.

Vysvětlení:

Maxima je nejvyšší bod, ke kterému funkce stoupá a pak opět klesá. Jako takový bude sklon tečny nebo hodnota derivátu v tomto bodě nulová.

Dále, protože tečny vlevo od maxim budou skloněny směrem vzhůru, pak se zplošťují a pak se svažují dolů, sklon tangenty bude kontinuálně klesat, to znamená, že hodnota druhého derivátu by byla negativní.

Minima na druhé straně je dolní bod, ke kterému funkce padá a pak znovu stoupá. Jako taková bude tečna nebo hodnota derivátu při minimu také nulová.

Jelikož však tečny vlevo od minima budou šikmé dolů, pak se zplošťují a pak se svažují vzhůru, sklon tečny se bude průběžně zvyšovat nebo hodnota druhého derivátu bude pozitivní.

Tato maxima a minima však mohou být buď univerzální, tj. Maxima nebo minima pro celý rozsah nebo mohou být lokalizovány, tj. Maxima nebo minima v omezeném rozsahu.

Podívejme se na to s odkazem na funkci popsanou v otázce a za to nejprve rozlišujme #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # a dále # 0,2pi # to je #0# v # x = pi / 2 # a # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # a zatímco na # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # což znamená, že máme lokální maxima, na # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # máme lokální minima.

graf {sinx -1, 7, -1,5, 1,5}