Když děláte násobitele langrage pro kalkul 3 ... řekněme, že jsem již našel své kritické body a mám z toho hodnotu. jak vím, jestli je to hodnota min nebo max?

Odpovědět:

Jeden možný způsob je Hessian (2. Derivative test)

Vysvětlení:

Obvykle se kontroluje, zda kritické body jsou min nebo max, často používáte druhý derivační test, který vyžaduje, abyste našli 4 dílčí deriváty, za předpokladu, #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) #, #f _ {"xy"} (x, y) #, #f _ {"yx"} (x, y) #, a #f _ {"yy"} (x, y) #

Všimněte si, že pokud oba #f _ {"xy"} # a #f _ {"yx"} # jsou kontinuální v oblasti zájmu, budou stejné.

Jakmile budete mít tyto 4 definované, můžete použít speciální matici, která se nazývá Hessian, abyste našli determinant této matice (která je tak matoucí, že je často označována také jako Hessian), která vám poskytne nějaké informace o povahu bodu. Definujte Hessian Matrix jako:

#H = | (f_ {"xx"} barva (bílá) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} barva (bílá) (, aa) f_ {yy}) | #

Jakmile máte vytvořenou matici (a bude to "funkční" matice, protože obsah bude funkcí x a y), můžete si pak vzít jeden z vašich kritických bodů a vyhodnotit celý determinant matice. A to:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

V závislosti na výsledcích tohoto výpočtu se můžete dozvědět povahu kritického bodu:

Li #H> 0 #, tam je min / max. Zkontrolujte znaménko #f _ {"xx"} #. Pokud je kladný, je bod min. Pokud je záporná, je bod max. (Toto je analogické k “tradičnímu” 2. derivátovému testu pro jedno-proměnné funkce x.) T

Li #H <0 #, na tom místě je sedlo.

Li #H = 0 #, test je neprůkazný a vy se musíte spoléhat na jiné prostředky, jako je graf funkce pro vizuální určení.