Jak se dělí (i + 3) / (-3i +7) v trigonometrickém tvaru?

Odpovědět:

# 0.311 + 0.275i #

Vysvětlení:

Nejprve přepíšu výrazy ve formě # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Pro komplexní číslo # z = a + bi #, # z = r (costheta + isintheta) #, kde:

• # r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
• # theta = tan ^ -1 (b / a) #

Zavolejme # 3 + i # # z_1 # a # 7-3i # # z_2 #.

Pro # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0.32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0.32) + isin (0.32)) #

Pro # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0.40 ^ c #

Od té doby # 7-3i # je v kvadrantu 4, musíme získat kladný úhel ekvivalentu (záporný úhel jde ve směru hodinových ručiček kolem kruhu a potřebujeme proti směru hodinových ručiček).

Chcete-li získat kladný úhel ekvivalent, přidáme # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5.88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5.88) + isin (5.88)) #

Pro # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#color (bílá) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#color (bílá) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#color (bílá) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5,56) + isin (-5,56)) #

#color (bílá) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5,56) + isqrt (145) / 29sin (-5,56) #

#color (bílá) (z_1 / z_2) = 0.311 + 0.275i #

Důkaz:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i ~ ~ 0.310+0.275i#