Jak použít teorém střední hodnoty k ověření, že v intervalu [0,1] pro f (x) = x ^ 3 + x-1 existuje nula?

Odpovědět:

V tomto intervalu je přesně 1 nula.

Vysvětlení:

Veta o střední hodnotě uvádí, že pro spojitou funkci definovanou na intervalu # a, b # můžeme nechat #C# být číslo s

#f (a) <c <f (b) # a to #EE x v a, b # takové #f (x) = c #.

Důsledkem toho je, že pokud je to znamení #f (a)! = # znamení #f (b) # to znamená, že musí existovat nějaké #xv a, b # takové #f (x) = 0 # protože #0# mezi negativy a pozitivy.

Takže, pojďme v koncových bodech:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#proto# v tomto intervalu je alespoň jedna nula. Chcete-li zkontrolovat, zda existuje pouze jeden kořen, díváme se na derivaci, která dává svahu.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Vidíme to #AA xv a, b, f '(x)> 0 # funkce se v tomto intervalu vždy zvyšuje - to znamená, že v tomto intervalu je pouze jeden kořen.