Jaké jsou asymptoty (y) a díry, pokud existují, f (x) = (x ^ 2-2x + 1) / (x * (x-2))?

Odpovědět:

Viz stručné vysvětlení

Vysvětlení:

Chcete-li najít svislé asymptoty, nastavte jmenovatele - #x (x-2) # - rovná nule a řešit. Tam jsou dva kořeny, body kde funkce jde do nekonečna. Pokud některý z těchto dvou kořenů má také v čitatelích nulu, pak se jedná o díru. Ale ne, takže tato funkce nemá žádné díry.

Chcete-li najít vodorovnou asymptotu, vydělte počáteční termín čitatele - # x ^ 2 # termínem jmenovatele - rovněž # x ^ 2 #. Odpověď je konstantní. Je to proto, že když x přejde do nekonečna (nebo mínus nekonečno), podmínky nejvyššího řádu se stanou nekonečně většími než jakékoli jiné termíny.

Odpovědět:

# "vertikální asymptoty na" x = 0 "a" x = 2 #

# "horizontální asymptota na" y = 1 #

Vysvětlení:

Jmenovatel f (x) nemůže být nulový, protože by to nedefinovalo f (x). Vyrovnání jmenovatele na nulu a řešení dává hodnoty, které x nemůže být, a pokud je čitatel pro tyto hodnoty nenulový, pak jsou vertikální asymptoty.

# "vyřešit" x (x-2) = 0 #

# x = 0 "a" x = 2 "jsou asymptoty" #

# "horizontální asymptoty se vyskytují jako" #

#lim_ (xto + -oo), f (x) toc "(konstanta)" #

# "rozdělit termíny na čitatel / jmenovatel nejvyšším" #

# "moc x, která je" x ^ 2 #

#f (x) = (x ^ 2 / x ^ 2- (2x) / x ^ 2 + 1 / x ^ 2) / (x ^ 2 / x ^ 2- (2x) / x ^ 2) = (1 -2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-2 / x) #

# "jako" xto + -oo, f (x) až (1-0 + 0) / (1-0) #

# y = 1 "je asymptota" #

# "Díry nastanou, když je společný faktor zrušen na # #

# "čitatel / jmenovatel. Toto není případ zde"

# "nejsou žádné díry" #

graf {(x ^ 2-2x + 1) / (x (x-2)) -10, 10, -5, 5}