Jaké jsou asymptoty (y) a díry, pokud existují, f (x) = xsin (1 / x)?

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

No, je tu samozřejmě díra # x = 0 #, od dělení podle #0# není možné.

Funkci můžeme graficky znázornit:

graf {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Neexistují žádné jiné asymptoty nebo díry.

Odpovědět:

#f (x) # má díru (odnímatelnou nespojitost) na # x = 0 #.

Má také horizontální asymptotu # y = 1 #.

Nemá žádné vertikální ani šikmé asymptoty.

Vysvětlení:

Vzhledem k:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Budu používat několik vlastností #sin (t) #, jmenovitě:

• #abs (sin t) <= 1 "" # pro všechny skutečné hodnoty # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # pro všechny hodnoty # t #.

Nejdříve si to uvědomte #f (x) # je sudá funkce:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Shledáváme:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Tak:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Protože je to #0#, takže je #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Také, protože #f (x) # je dokonce:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Všimněte si, že #f (0) # je nedefinováno, protože zahrnuje rozdělení podle #0#, ale levý i pravý limit existují a souhlasí # x = 0 #, takže tam má díru (odnímatelnou diskontinuitu).

Nalezneme také:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Podobně:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Tak #f (x) # má horizontální asymptotu # y = 1 #

graf {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}