Jaký je absolutní extrém funkce: 2x / (x ^ 2 +1) na uzavřeném intervalu [-2,2]?

Absolutní extrémy funkce v uzavřeném intervalu # a, b # mohou být nebo lokální extrémy v tomto intervalu, nebo body, jejichž ascissae jsou #a nebo b #.

Najdeme tedy lokální extrémy:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#y '> = 0 #

-li

# -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Takže naše funkce klesá #-2,-1)# a dovnitř #(1,2# a roste #(-1,1)#, a tak to bylo #A (-1-1) # je místní minimum a bod #B (1,1) # je lokální maximum.

Najdeme tedy souřadnice svislých bodů v extrému intervalu:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Takže kandidátů jsou:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4 / 5) #

#D (2,4 / 5) #

a je snadné pochopit, že absolutní extrémy jsou #A# a # B #, jak můžete vidět:

graf {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}