Jaká je rovnice paraboly se zaměřením na (-15, -19) a přímkou y = -8?

Odpovědět:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Vysvětlení:

Protože directrix je vodorovná čára, víme, že parabola je vertikálně orientovaná (otevírá se buď nahoru nebo dolů). Protože y souřadnice ohniska (-19) pod directrix (-8), víme, že parabola se otevírá dolů. Vrcholová forma rovnice pro tento typ paraboly je:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Kde h je souřadnice x vrcholu, k it y koordinovaný vrchol, a ohnisková vzdálenost, f, je polovina podepsané vzdálenosti od directrix k fokusu: t

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Souřadnice y vrcholu, k, je f plus y souřadnice přímky:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Souřadnice x vrcholu, h, je stejná jako souřadnice x fokusu:

#h = -15 #

Nahrazení těchto hodnot do rovnice 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Zjednodušení:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Odpovědět:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Vysvětlení:

Parabola je lokus bodu, který se pohybuje tak, že jeho vzdálenost od přímky, zvané directix, a bod, nazývaný fokus, jsou stejné.

Víme, že vzdálenost mezi dvěma body # (x_1, y_1) # a # x_2, y_2) # darováno #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # a

vzdálenost mezi bodem # (x_1, y_1) # a řádek # ax + o + c = 0 # je # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nyní vzdálenost bodu # (x, y) # na parabolu od zaměření na. t #(-15,-19)# je #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

a jeho vzdálenost od directrixu # y = -8 # nebo # y + 8 = 0 # je # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Proto by rovnice paraboly byla

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | nebo

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # nebo

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # nebo

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

graf {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}