Co je racionální funkce, která splňuje následující vlastnosti: horizontální asymptotu na y = 3 a vertikální asymptotu x = -5?

Odpovědět:

#f (x) = (3x) / (x + 5) #

Vysvětlení:

graf {(3x) / (x + 5) -23,33, 16,67, -5,12, 14,88}

Existuje jistě mnoho způsobů, jak napsat racionální funkci, která splňuje výše uvedené podmínky, ale to bylo nejjednodušší, na co jsem si myslel.

Abychom mohli určit funkci pro konkrétní vodorovnou linii, musíme mít na paměti následující.

1. Je-li stupeň jmenovatele větší než stupeň čitatele, je vodorovná asymptota přímkou #y = 0 #.

   ex: #f (x) = x / (x ^ 2 + 2) #

2. Pokud je stupeň čitatele větší než jmenovatel, neexistuje horizontální asymptota.

   ex: #f (x) = (x ^ 3 + 5) / (x ^ 2) #

3. Pokud jsou stupně čitatele a jmenovatele stejné, horizontální asymptota se rovná počátečnímu koeficientu čitatele děleno koeficientem vedoucího jmenovatele.

   ex: #f (x) = (6x ^ 2) / (2x ^ 2) #

Třetí tvrzení je to, co musíme mít na paměti pro tento příklad, takže naše racionální funkce musí mít stejný stupeň jak v čitateli, tak i ve jmenovateli, ale také kvocient předních koeficientů se musí rovnat #3#.

Co se týče funkce, kterou jsem dal, #f (x) = (3x) / (x + 5) #

Čitatel i jmenovatel mají stupeň #1#, takže horizontální asymptota je kvocientem počátečních koeficientů čitatele nad jmenovatelem: #3/1 = 3# tak vodorovná asymtopte je linka # y = 3 #

Pro vertikální asymptotu si uvědomujeme, že vše, co opravdu znamená, je to, kde je v grafu naše funkce nedefinovaná. Protože hovoříme o racionálním výrazu, naše funkce je nedefinovaná, když se jmenovatel rovná #0#.

Co se týče funkce, kterou jsem dal, #f (x) = (3x) / (x + 5) #

Nastavili jsme jmenovatele na hodnotu #0# a řešit #X#

# x + 5 = 0 -> x = -5 #

Takže naše vertikální asymptota je linka # x = -5 #

Horizontální asymptota v podstatě závisí na stupni čitatele i jmenovatele. Vertikální asymptota je určena nastavením jmenovatele na hodnotu #0# a řešení #X#