X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Prosím, pomozte mi s prvním tvrzením?

Abychom tyto výroky pochopili, musíme nejprve pochopit použitý zápis.

• # AA # - pro všechny - Tento symbol znamená, že něco platí pro každý příklad v rámci sady. Když tedy přidáme proměnnou #X#, # AAx # znamená, že některé prohlášení se vztahuje na každou možnou hodnotu nebo položku, kterou bychom mohli nahradit #X#.

• #P (x), Q (x) # - tvrzení - To jsou logické výroky týkající se #X#, tj. představují prohlášení o #X# které jsou pravdivé nebo nepravdivé #X#.

• # # - a - Tento symbol umožňuje kombinaci více propozic. Kombinovaný výsledek je pravdivý, když se obě propozice vrátí pravdivě, a nepravdivé jinak.

• # # - nebo - Tento symbol také umožňuje kombinaci více propozic. Kombinovaný výsledek je nepravdivý, když se oba návrhy vrátí nepravdivé a pravdivé jinak.

• # # - pokud a pouze tehdy - Tento symbol také umožňuje kombinaci více propozic. Kombinovaný výsledek je pravdivý, když oba návrhy vrátí stejnou pravdu pro všechny #X#, a nepravdivé jinak.

S tímto můžeme nyní přeložit prohlášení. První tvrzení, přímo formulované, bude znít jako "Pro všechny x, P x a Q x, pokud a pouze pro všechny x, P x a pro všechny x, Q x."

Některé drobné dodatky a úpravy ji činí trochu srozumitelnější.

"Pro všechny x, P a Q platí pro x pouze tehdy, když P platí pro všechny x a Q platí pro všechny x."

Toto tvrzení je tautologie, to znamená, že je pravdivá bez ohledu na to, co nahradíme pro P nebo Q. Můžeme to ukázat tím, že demonstrujeme, že návrh před the implikuje ten po něm a naopak.

Vycházíme z předchozího prohlášení a máme to pro každého #X#, #P (x) Q (x) # je pravda. Podle naší definice to znamená, že pro každého #X#, #P (x) # je pravda a #Q (x) # je pravda. To znamená, že pro každého #X#, #P (x) # je pravda a pro všechny #X#, #Q (x) # je pravdivé, což je prohlášení, které se objevuje po.

Pokud začneme z prohlášení, které se objeví po, pak to víme #X#, #P (x) # je pravda a pro všechny #X#, #Q (x) # je pravda. Pak pro všechny #X#, #P (x) # a #Q (x) # jsou oba pravdivé, smyslu pro všechny #X#, #P (x) Q (x) # je pravda. To dokazuje, že první prohlášení je vždy pravdivé.

Druhé prohlášení je nepravdivé. Bez toho, abychom prošli celým procesem, jak je uvedeno výše, můžeme jednoduše ukázat, že obě tvrzení na obou stranách nemají vždy stejnou hodnotu pravdy. Předpokládejme například, že pro polovinu všech možných #X#, #P (x) # je pravda a #Q (x) # je nepravdivá, a pro druhou polovinu, #Q (x) # je pravda a #P (x) # je nepravdivé.

V tomto případě, stejně jako pro všechny #X#, buď #P (x) # nebo #Q (x) # je pravda, tvrzení #AAx (P (x) Q (x)) # je pravdivá (viz popis výše). Ale protože existují hodnoty pro #X# pro který #P (x) # je nepravdivý, tvrzení #AAxP (x) # je nepravdivé. Podobně, #AAxQ (x) # je také falešný, význam #AAxP (x) AAxQ (x) # je nepravdivé.

Vzhledem k tomu, že obě tvrzení mají různé hodnoty pravdy, zjevně pravda jednoho nezaručuje pravdu druhé, a tak jejich spojení s with vede k novému tvrzení, které je nepravdivé.