Jaká je rovnice tečny k f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x na x = sqrtpi?

Odpovědět:

Rovnice je přibližně:

#y = 3.34x - 0.27 #

Vysvětlení:

Na začátku musíme určit #f '(x) #, takže víme, jaký je sklon #f (x) # je v každém bodě, #X#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

použití pravidla produktu:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Jedná se o standardní deriváty:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Tak se naše derivace stává:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Vložení zadaného #X# hodnota, sklon na #sqrt (pi) # je:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Toto je sklon naší čáry v místě # x = sqrt (pi) #. Pak můžeme určit průsečík y nastavením:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

To nám dává zjednodušenou rovnici pro naši linii:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Řešení pro b, skončíme s nepříjemně komplikovaným vzorcem:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sq) (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) # #

Takže naše linka končí:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Pokud skutečně spočítáme, co tyto nepříjemně velké koeficienty odpovídají, skončíme s přibližnou čarou:

#y = 3.34x - 0.27 #