Jaká je standardní forma rovnice kružnice se středem (-3,3) a tečnou k přímce y = 1?

Odpovědět:

Rovnice kruhu je # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 14 = 0 # a # y = 1 # je tečná na #(-3,1)#

Vysvětlení:

Rovnice kruhu se středem #(-3,3)# s poloměrem # r # je

# (x + 3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = r ^ 2 #

nebo # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 9 + 9-r ^ 2 = 0 #

Tak jako # y = 1 # je tečná k tomuto kruhu, uvedení # y = 1 # v rovnici kružnice by mělo dát pouze jedno řešení pro #X#. Děláme to tak

# x ^ 2 + 1 + 6x-6 + 9 + 9-r ^ 2 = 0 # nebo

# x ^ 2 + 6x + 13-r ^ 2 = 0 #

a jak bychom měli mít jen jedno řešení, měla by být diskriminační tato kvadratická rovnice #0#.

Proto, # 6 ^ 2-4xx1xx (13-r ^ 2) = 0 # nebo

# 36-52 + 4r ^ 2 = 0 # nebo # 4r ^ 2 = 16 # a jako # r # musí být pozitivní

# r = 2 # a tedy rovnice kruhu

# x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 9 + 9-4 = 0 # nebo # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 14 = 0 #

a # y = 1 # je tečná na #(-3,1)#