Jedná se o goniometrický důkaz zobecněného případu, otázka je v poli podrobností?

Odpovědět:

Důkaz indukcí je níže.

Vysvětlení:

Dokážme tuto identitu indukcí.

A. Pro # n = 1 # musíme to zkontrolovat

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Používání identity #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #Vidíme to

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

z toho vyplývá

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Tak pro # n = 1 # naše identita platí.

B. Předpokládejme, že identita je pravdivá # n #

Předpokládáme to

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (jv 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(symbol # Pi # se používá pro produkt)

C. S použitím předpokladu B výše, pojďme prokázat totožnost # n + 1 #

Musíme dokázat, že z předpokladu B následuje

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (jv 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Všimněte si, že pravá hranice pro index násobení je # n # Nyní).

DŮKAZ

Použití identity #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # pro # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Rozdělit začátek a konec výrazy podle # 2cos (theta) +1 #, dostat se

# 2cos (2 ^ (n + l) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 # #

Nyní používáme předpoklad B

# 2cos (2 ^ (n + l) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (jv 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (jv 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Všimněte si, že rozsah indexu je nyní rozšířen na # n #).

Poslední vzorec je přesně stejný # n + 1 # jako originál # n #. To doplňuje důkaz tím, že náš vzorec platí pro všechny # n #.

Odpovědět:

Viz Důkaz v části Vysvětlení níže.

Vysvětlení:

To je ekvivalentní k prokázání, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} # #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Užijte si matematiku!