Jaké jsou globální a lokální extrémy f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Odpovědět:

#f (x) # má absolutní minimum na #(-1. 0)#

#f (x) # má lokální maximum na # (- 3, 4e ^ -3) #

Vysvětlení:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Pravidlo produktu

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Pro absolutní nebo lokální extrémy: #f '(x) = 0 #

Zde: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Od té doby # e ^ x> 0 forall x v RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 nebo -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Pravidlo produktu

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Od té doby # e ^ x> 0 # musíme pouze otestovat znamení # (x ^ 2 + 6x + 7) #

v našich extrémních bodech určit, zda bod je maximum nebo minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # je minimální

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # je maximum

S ohledem na graf #f (x) # níže je jasné, že #f (-3) # je lokální maximum a #f (-1) # je absolutní minimum.

graf {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5,788, 2,005, -0,658, 3,24}

A konečně, hodnocení extrémních bodů:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

a

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 = 0,199 #