Proč dostáváme kladné číslo na násobení dvou negativních celých čísel?

Odpovědět:

Použijte distribuutivity násobení nad přidáním a další vlastnosti aritmetiky k prokázání …

Vysvětlení:

Sčítání a násobení celých čísel mají různé vlastnosti, známé jako axiomy. Budu používat zkratku # AA # "pro všechny", # EE # "tady existuje", #:# "takové, že" takto:

Existuje aditivní identita #0#:

#EE 0: AA a "" a + 0 = 0 + a = a #

Doplnění je komutativní:

#AA a, b "" a + b = b + a #

Přidání je asociativní:

#AA a, b, c "" (a + b) + c = a + (b + c) #

Všechna celá čísla mají inverzní hodnotu navíc:

#AA a EE b: a + b = b + a = 0 #

Existuje multiplikativní identita #1#:

#EE 1: AA a "" a * 1 = 1 * a = a #

Násobení je komutativní:

#AA a, b "" a * b = b * a #

Násobení je asociativní:

#AA a, b, c "" (a * b) * c = a * (b * c) #

Násobení je rozdělovací vlevo a vpravo navíc:

#AA a, b, c "" a * (b + c) = (a * b) + (a * c) #

#AA a, b, c "" (a + b) * c = (a * c) + (b * c) #

Používáme notaci #-A# reprezentovat aditivní inverzi #A# a zápis # a-b # jako zkratka pro #a + (- b) #.

Všimněte si, že asociativita přidávání znamená, že můžeme jednoznačně napsat:

# a + b + c #

Použitím konvence PEMDAS, že sčítání a odčítání se provádí zleva doprava, můžeme se vyhnout psaní některých dalších závorek, které však udržují věci jednoznačné.

Pak zjistíme:

# (- a) (- b) = (-a) (- b) + 0 #

#color (bílá) ((- a) (- b)) (-a) (- b) + (- ab) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) -ab) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + 0-ab) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b) - (a) (- b) -ab) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b)) - ((a) (- b) + ab) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = ((-a) + a) (- b) - (a) ((- b) + b) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = (0 * (- b)) - (a * 0) + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = 0-0 + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = 0 + ab #

#color (bílá) ((- a) (- b)) = ab #

Takže když #a, b # jsou pozitivní a jste spokojeni # ab # je také pozitivní # (- a) * (- b) = ab # pozitivní.