Dvě čísla se liší o 3. Součet jejich vzájemných hodnot je sedm desetin. Jak zjistíte čísla?

Odpovědět:

Existují dvě řešení problému:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Vysvětlení:

To je typický problém, který lze vyřešit pomocí systému dvou rovnic se dvěma neznámými proměnnými.

Nechť je první neznámá proměnná #X# a druhá # y #.

Rozdíl mezi nimi je #3#, což má za následek rovnici:

(1) # x-y = 3 #

Jejich vzájemnosti jsou # 1 / x # a # 1 / y #, jejíž součet je #7/10#, což má za následek rovnici:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Existence vzájemných vztahů vyžaduje omezení:

#x! = 0 # a #y! = 0 #.

Abychom tento systém vyřešili, použijte metodu substituce.

Z první rovnice můžeme vyjádřit #X# ve smyslu # y # a nahradit do druhé rovnice.

Z rovnice (1) můžeme odvodit:

(3) #x = y + 3 #

Nahraďte ji rovnicí (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

To mimo jiné vyžaduje další omezení:

# y + 3! = 0 #, to je #y! = - 3 #.

Použití společného jmenovatele # 10y (y + 3) # a vzhledem k čitatelům transformujeme rovnici (4) na:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Toto je kvadratická rovnice, kterou lze přepsat jako:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # nebo

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Dvě řešení této rovnice jsou:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

nebo

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Máme tedy dvě řešení # y #:

# y_1 = 2 # a # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Odpovídajícím způsobem # x = y + 3 #dospěli jsme k závěru, že existují dvě řešení systému:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

V obou případech #X# je větší než # y # podle #3#, takže první podmínka problému je splněna.

Podívejme se na druhou podmínku:

a) pro řešení # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - kontrolovány

(b) pro řešení # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - kontrolovány

Obě řešení jsou správná.