Jaké jsou lokální extrémy f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Odpovědět:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # má místní minimum pro # x = 1 # a místní maximum pro # x = 3 #

Vysvětlení:

My máme:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

funkce je definována ve všech # RR # tak jako # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Kritické body můžeme identifikovat zjištěním, kde se první derivace rovná nule:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

kritické body jsou:

# x_1 = 1 # a # x_2 = 3 #

Protože jmenovatel je vždy pozitivní, znaménko #f '(x) # je opakem znaménka čitatele # (x ^ 2-4x + 3) #

Nyní víme, že polynom druhého řádu s kladným předním koeficientem je kladný mimo interval mezi kořeny a záporem v intervalu mezi kořeny, takže:

#f '(x) <0 # pro #x in (-oo, 1) # a #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # pro #x in (1,3) #

Tak to máme #f (x) # klesá # (- oo, 1) #, rostoucí v #(1,3)#a opět klesá # (3, + oo) #, aby # x_1 = 1 # musí být místní minimum a # x_2 = 3 # musí být lokální maximum.

graf {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}