Co je Hilbertův prostor? + Příklad

Hilbertův prostor je množina prvků s určitými vlastnostmi, konkrétně:

je to vektorový prostor (takže existují operace na jeho elementech typických pro vektory, jako je násobení skutečným číslem a sčítání, které splňuje komutativní a asociativní zákony);

existuje skalární (někdy nazývaný vnitřní nebo tečka) produkt mezi dvěma prvky, které mají za následek reálné číslo.

Například náš trojrozměrný euklidovský prostor je příkladem Hilbertova prostoru se skalárním součinem # x = (x_1, x_2, x_3) # a # y = (y_1, y_2, y_3) # rovná # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Zajímavějším příkladem je prostor všech spojitých funkcí na segmentu # a, b # se skalárním produktem definovaným jako

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

V kvantové fyzice hraje Hilbertův prostor velmi důležitou roli jako funkce, která popisuje stav systému # Psi # je prvek Hilbertova prostoru.

Mohu doporučit

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

jako úvod do použití Hilbertova prostoru v kvantové fyzice.