Jak integrovat int x ^ lnx?

Odpovědět:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Vysvětlení:

Začneme u-substitucí # u = ln (x) #. Pak se dělíme derivací # u # integrovat s ohledem na # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u #

Teď musíme vyřešit #X# ve smyslu # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x x x u u = int ^ u * (e ^ u) ^ u = int ^ ^ (u ^ 2 + u)

Možná si myslíte, že to nemá elementární anti-derivaci, a měli byste pravdu. Můžeme však použít formulář pro imaginární chybovou funkci, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Abychom získali integrál do této formy, můžeme mít v exponentu pouze jednu čtvercovou proměnnou #E#, takže musíme doplnit náměstí:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) d = e ^ (- 1/4) int ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Nyní můžeme zavést u-substituci # t = u + 1/2 #. Derivát je spravedlivý #1#, takže nemusíme dělat nic zvláštního, abychom se mohli integrovat # t #:

#e ^ (- 1/4) int ^ ^ (t ^ 2) d = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Nyní můžeme vrátit zpět všechny substituce:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #