Jak integrovat int e ^ x sinx cosx dx?

Odpovědět:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Vysvětlení:

Nejprve můžeme použít identitu:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

který dává:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2min e ^ xsin (2x) dx #

Nyní můžeme využít integraci částí. Vzorec je:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Nechám #f (x) = sin (2x) # a #g '(x) = e ^ x / 2 #. Použijeme-li vzorec, dostaneme:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Nyní můžeme opět aplikovat integraci podle částí, tentokrát s #f (x) = cos (2x) # a #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Nyní máme integrál na obou stranách rovnosti, takže to můžeme vyřešit jako rovnici. Nejprve přidáme 2-násobek integrálu na obě strany:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Protože jsme chtěli polovinu jako koeficient na původním integrálu, rozdělíme obě strany podle #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Odpovědět:

# int e ^ x sinxxxx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Vysvětlení:

Hledáme:

# I = int ^ x xxxxxx

Který používá identitu:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Můžeme napsat jako:

# I = 1/2 int ^ x x2x dx #

# I = 1/2

Kde pro větší pohodlí označujeme:

# I_S = int ^ x x2x dx #, a # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Nyní opět provádíme integraci dílů.

Nechat # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Poté se připojíme k vzorci IBP:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x2x - 1/2 I_S # ….. B}

Nyní máme dvě simultánní rovnice ve dvou neznámých #JE#. a # I_C #, takže nahrazení B do A máme:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Vedoucí k:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #