Jaká je délka oblouku r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) na cínu [1, ln2]?

Odpovědět:

Délka oblouku #~~ 2.42533 # (5 dp)

Délka oblouku je záporná vzhledem k dolní hranici #1# je větší než horní hranice # ln2 #

Vysvětlení:

Máme parametrickou vektorovou funkci danou:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Pro výpočet délky oblouku budeme potřebovat vektorovou derivaci, kterou můžeme vypočítat pomocí produktového pravidla:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> # #

Pak vypočítáme velikost derivačního vektoru:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Pak můžeme vypočítat délku oblouku pomocí:

# L = int_ (1) ^ (ln2) bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) t

Je nepravděpodobné, že můžeme tento integrál vypočítat pomocí analytické techniky, takže namísto numerických metod získáme aproximaci:

# L ~ ~ 2.42533 t (5 dp)

Délka oblouku je záporná vzhledem k dolní hranici #1# je větší než horní hranice # ln2 #