Co je to antiderivace 1 / sinx?

Odpovědět:

to je # -ln abs (cscx + postýlka x) #

Vysvětlení:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Čitatel je opačný ('negativní') derivátu denomoinátoru.

Takže antiderivát je mínus přirozený logaritmus jmenovatele.

# -ln abs (cscx + postýlka x) #.

(Pokud jste se naučili techniku substituce, můžeme použít #u = cscx + postýlka x #, tak #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. Výraz se stává # -1 / u du #.)

Tuto odpověď můžete ověřit rozlišením.

Jiný přístup k němu

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Nahradit

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Potřebujeme #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Proto, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ##v## RR #

Co je to antiderivace funkce vzdálenosti?

Funkce vzdálenosti je: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Pojďme s tím manipulovat. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltaxe) ^ 2 (Deltaxe) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltaxe) ^ 2) Deltaxe Protože antiderivát je v podstatě neurčitý integrál, toto se stane nekonečným součtem nekonečně malých dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx což se stane být vzorcem pro délku oblouku jakékoli funkce, kterou lze po manipulaci snadno integrovat.

Co je to antiderivace (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Odpověď je x + arctan (x) Nejprve si všimněte, že: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) lze psát jako (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = derivace arctanu (x) je 1 / (1 + x ^ 2). To znamená, že antiderivace 1 / (1 + x ^ 2) je arctan (x) A na tomto základě můžeme napsat: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Proto, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c Takže ant

Prokázat (1 + sinx + icosx) / (1 + sinx-icosx) = sinx + icosx?

Viz. níže. Pomocí identity de Moivre, která uvádí e ^ (ix) = cos x + i sin x máme (1 + e ^ (ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) (1+ e ^ (- ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) POZNÁMKA e ^ (ix) (1 + e ^ (- ix)) = (cos x + isinx) (1+ cosx-i sinx) = cosx + cos ^ 2x + isinx + sin ^ 2x = 1 + cosx + isinx nebo 1 + cosx + isinx = (cos x + isinx) (1 + cosx-i sinx)