Co je to antiderivace (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Odpovědět:

Odpověď je # x + arctan (x) #

Vysvětlení:

Nejprve si uvědomte, že: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # lze psát jako # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Derivace #arctan (x) # je # 1 / (1 + x ^ 2) #.

To znamená, že antiderivace # 1 / (1 + x ^ 2) # je #arctan (x) #

A na tomto základě můžeme psát: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Proto, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Takže antiderivace # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # je #color (modrá) (x + arctan (x)) #

# "Pozn.:" #

Nezaměňujte to # antiderivativní # s neurčitý integrál

Antiderivativní nezahrnuje konstantu. Ve skutečnosti najít antiderivative to neznamená intergrate!

Co je to antiderivace funkce vzdálenosti?

Funkce vzdálenosti je: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Pojďme s tím manipulovat. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltaxe) ^ 2 (Deltaxe) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltaxe) ^ 2) Deltaxe Protože antiderivát je v podstatě neurčitý integrál, toto se stane nekonečným součtem nekonečně malých dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx což se stane být vzorcem pro délku oblouku jakékoli funkce, kterou lze po manipulaci snadno integrovat.

Co je to antiderivace 1 / sinx?

Je -ln abs (cscx + cot x) 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) Čitatel je opak („negativní“) derivátu denomoinátoru. Takže antiderivát je mínus přirozený logaritmus jmenovatele. -ln abs (cscx + cot x). (Pokud jste se naučili techniku substituce, můžeme použít u = cscx + cot x, tak du = -csc ^ 2 x - cscx cotx. Výraz se stane -1 / u du.) Tuto odpověď můžete ověřit rozlišením .