Mars má průměrnou povrchovou teplotu asi 200K. Pluto má průměrnou povrchovou teplotu asi 40K. Která planeta vyzařuje více energie na metr čtvereční plochy za sekundu? Jak moc?

Odpovědět:

Mars vydává #625# více energie na jednotku plochy než Pluto.

Vysvětlení:

Je zřejmé, že teplejší objekt vyzařuje více černého tělesného záření. Již tedy víme, že Mars vydá více energie než Pluto. Jedinou otázkou je, kolik.

Tento problém vyžaduje vyhodnocení energie černého tělesného záření emitovaného oběma planetami. Tato energie je popsána jako funkce teploty a emitované frekvence:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Integrace nad frekvencí udává celkový výkon na jednotku plochy jako funkci teploty:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(Všimněte si, že výše uvedená rovnice používá # barh #, redukovaný Planck je konstantní, spíše než # h #. Je těžké číst v Socratově zápisu)

Vyřešení poměru mezi oběma, pak je výsledek neuvěřitelně jednoduchý. Li # T_p # je teplota Pluta a # T_m # je teplota Marsu pak faktor #A# lze vypočítat pomocí:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / zrušit (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / zrušit (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # krát