Jak řešíte 1 = postýlka ^ 2 x + csc x?

Odpovědět:

#x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

pro #k v ZZ #

Vysvětlení:

# cot ^ 2x + cscx = 1 #

Použít identitu: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => postýlka ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => postýlka ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Nahraďte to v původní rovnici, # csc ^ 2x-1 + cscx = 1 #

# => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 #

Toto je kvadratická rovnice v proměnné # cscx # Takže můžete použít kvadratický vzorec, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Případ #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Pamatujte, že: # cscx = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Obecné řešení (1): #x = (- 1) ^ n (pi / 2) + npi #

Tyto hodnoty musíme odmítnout (zanedbávat), protože #dětská postýlka# funkce není definována pro násobky # pi / 2 # !

Případ #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 => x = -pi / 6 #

Obecné řešení (2): #x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Odpovědět:

Řešte lůžko ^ 2 x + csc x = 1

Odpověď: # (pi) / 2; (7pi) / 6 a (11pi) / 6 #

Vysvětlení:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Call sin x = t

Protože a + b + c = 0, použijte zkratku: 2 skutečné kořeny jsou:

t = 1 a #t = -1 / 2 #

A. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # a #x = (11pi) / 6 #