Jak integrujete int 3 * (csc (t)) ^ 2 / postýlka (t) dt?

Odpovědět:

Použijte a # u #- náhrada # -3lnabs (postýlka (t)) + C #.

Vysvětlení:

Nejdříve si to všimněte, protože #3# je konstanta, můžeme ji vytáhnout z integrálu pro zjednodušení:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / postýlka (t) dt #

Nyní - a to je nejdůležitější část - si všimněte, že derivace #cot (t) # je # -csc ^ 2 (t) #. Protože máme ve stejném integrálu funkci a její derivaci, můžeme použít a # u # tato náhrada:

# u = postýlka (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Můžeme převést pozitivní # csc ^ 2 (t) # na negativní:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / postýlka (t) dt #

Použijte substituci:

# -3int (du) / u #

Víme, že #int (du) / u = lnabs (u) + C #, takže vyhodnocení integrálu je provedeno. Potřebujeme jen zvrátit náhradu (dát odpověď zpět, pokud jde o # t #) a připojte to #-3# k výsledku. Od té doby # u = postýlka (t) #, můžeme říci:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (postýlka (t)) + C #

A to je vše.

Odpovědět:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Vysvětlení:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Pamatuj si to

#sin 2t = 2sint * cena #

Tak

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Jak můžeme najít v tabulce integrálů

(např. Tabulka integrálů obsahujících Csc (ax) v SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotaxe | = ln | tan ((ax) / 2) |

dostaneme tento výsledek

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const.