Bez použití řešené funkce kalkulačky, jak vyřeším rovnici: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Odpovědět:

Nuly jsou # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Vysvětlení:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

To nám je řečeno # (x-5) # je faktorem, proto jej oddělte:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

To nám je řečeno # (x + 2) # je také faktorem, takže to oddělte:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Diskriminační zbývající kvadratický faktor je negativní, ale stále můžeme použít kvadratický vzorec k nalezení komplexních kořenů:

# x ^ 2-2x + 3 # je ve formě # ax ^ 2 + bx + c # s # a = 1 #, # b = -2 # a # c = 3 #.

Kořeny jsou dány kvadratickým vzorcem:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Zkusme to bez vědomí # (x-5) # a # (x + 2) # faktory.

Konstantní termín se rovná kořenovému produktu

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Tento koeficient je celočíselná hodnota, jejíž faktory jsou #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Zkoušení těchto hodnot můžeme vidět

#p (-2) = p (5) = 0 # získání dvou kořenů.

Můžeme reprezentovat polynom jako

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Vypočítáme pravou stranu a porovnáme obě strany

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Řešení pro # (a, b) # dostaneme # a = -2, b = 3 #

Vyhodnocení kořenů # x ^ 2-2x + 3 = 0 # dostaneme # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #