Prokázat: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Dokázat # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Nechat # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

Nyní # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Show

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Někdy trig je méně o matematice a více o rozpoznávání matematiky, když to vidíme. Tady poznáváme # 4x ^ 3 -3x # jako kosinový trojnásobný úhel, # cos (3 heta) # když # x = cos #.

Faktor: # 4x ^ 3-3x # je také nazývána # T_3 (x) #, třetí Chebyshevův polynom prvního druhu. Obecně, # cos (nx) = T_n (cos x).

Předpokládáme # arccos # odkazuje na hodnotu jistiny. Dávám přednost zavolání hlavního #text {Arc} text {cos} # ale to je těžší psát.

Dost na pozadí. Jakmile rozpoznáme vzorec trojitého úhlu, důkaz je snadný.

Důkaz:

Nechat #theta = arccos x.

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #

"Lena má 2 po sobě jdoucí celá čísla."Všimne si, že jejich součet se rovná rozdílu mezi jejich čtverci. Lena vybírá další 2 po sobě jdoucí celá čísla a všimne si totéž. Prokázat algebraicky, že to platí pro všechny 2 po sobě jdoucí celá čísla?

Laskavě se podívejte na Vysvětlení. Připomeňme, že po sobě jdoucí celá čísla se liší o 1. Proto, pokud m je jedno celé číslo, pak musí být následující celé číslo n + 1. Součet těchto dvou celých čísel je n + (n + 1) = 2n + 1. Rozdíl mezi jejich čtverci je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, podle potřeby! Cítit radost z matematiky!

Prokázat, že 32sin ^ 4x.cos ^ 2x = cos6x-2cos4x-cos 2x + 2?

RHS = cos6x-2cos4x-cos2x + 2 = cos6x-cos2x + 2 (1-cos4x) = -2sin ((6x + 2x) / 2) * sin ((6x-2x) / 2) + 2 * 2sin ^ 2 ( 2x) = 4sin ^ 2 (2x) -2sin4x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -2 * 2 * sin2x * cos2x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -4sin ^ 2 (2x) * cos2x = 4sin ^ 2 (2x) [1-cos2x] = 4 * (2sinx * cosx) ^ 2 * 2sin ^ 2x = 4 * 4sin ^ 2x * cos ^ 2x * 2sin ^ 2x = 32sin ^ 4x * cos ^ 2x = LHS

Prokázat, že ((cos (33 ^ @)) ^ 2- (cos (57 ^ @)) ^ 2) / ((sin (10,5 ^ @)) ^ 2- (sin (34,5 ^ @)) ^ 2) = -sqrt2?

Viz níže. Používáme vzorce (A) - cosA = sin (90 ^ @ - A), (B) - cos ^ 2A-sin ^ 2A = cos2A (C) - 2sinAcosA = sin2A, (D) - sinA + sinB = 2sin (( A + B) / 2) cos ((AB) / 2) a (E) - sinA-sinB = 2cos ((A + B) / 2) sin ((AB) / 2) (cos ^ 2 33 ^ @ - cos ^ 2 ^ ^) / (sin ^ 2 10,5 ^ -in ^ 2 34,5 ^) = (cos ^ 2 ^ ^ - sin ^ 2 (90 ^ - 57 ^)) / ((sin10. 5 ^ @ + sin34,5 ^ @) (sin10,5 ^ @ - sin34,5 ^ @)) - použitý A = (cos ^ 2 33 ^ @ - sin ^ 2 33 ^ @) / (- (2sin22,5) ^ @ cos12 ^ @) (2cos22,5 ^ @ sin12 ^ @)) - použitý D & E = (cos66 ^ @) / (- (2sin22,5 ^ @ cos22,5 ^ @ xx2sin12 ^ @ cos12 ^ @) - použitý B = -