Otázka # 27939

Odpovědět:

Jak poukázal Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NENÍ nula. (Zanedbával jsem to.) Ostatní nuly jsou # 1-sqrt3 i # a #1#.

Vysvětlení:

Protože všechny koeficienty jsou reálná čísla, musí se vyskytnout všechny imaginární nuly v konjugovaných párech.

Proto, # 1-sqrt3 i # je nula.

Li #C# je nula # z-c # je faktor, takže bychom se mohli množit

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # dostat # z ^ 2-2z + 4 #

a pak rozdělit #P (z) # kvadratickou.

Je však rychlejší uvažovat o možné racionální nule # P # První. Nebo přidejte koeficienty, abyste to viděli #1# je také nula.

Odpovědět:

#1# a # 1 - sqrt3 i #

Vysvětlení:

Ve vaší otázce došlo k chybě. Kořen by měl být # 1 + sqrt3 i #. To lze ověřit vložením hodnoty do výrazu. Pokud se jedná o kořen, výraz by měl být vyhodnocen na nulu.

Tento výraz má všechny reálné koeficienty, takže v případě Komplexního Konjugátu Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) máme ten druhý komplexní kořen. # 1 - sqrt3 i #, Jasně, třetí kořen (řekněme #A#) musí být reálný, protože nemůže mít komplexní konjugát; jinak budou existovat 4 kořeny, což není možné pro rovnici 3. stupně.

Poznámka

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Od té doby # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Budeme se snažit dostat tento faktor do výrazu.

Můžeme napsat:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Odpovědět:

Jako intro si myslím, že kořen by měl být #color (blue) (1 + sqrt3) # a ne #color (červená) (- 1 + sqrt3) #

Na tomto základě moje odpověď je:

#z v {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Vysvětlení:

Pomocí myšlenky komplexních konjugátů a některé další cool triky.

#P (z) # je polynom stupně stupně #3#. To znamená, že by to mělo být #3# kořeny.

Jeden zajímavý fakt o komplexních kořenech je že oni nikdy se vyskytují osamoceně konjugované páry.

Takže když # 1 + isqrt3 # je jeden kořen, pak jeho konjugát: # 1-isqrt3 # určitě je také kořen!

A protože zbývá ještě jeden kořen, můžeme tento kořen nazvat # z = a #.

Není to komplexní číslo, protože složité kořeny se vždy vyskytují ve dvojicích.

A protože toto je poslední z #3# kořeny, po prvním nemůže být žádný jiný pár!

Nakonec faktory #P (z) # snadno zjistitelné # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "a" (z-a) #

Pozn.: Rozdíl mezi kořenem a faktorem je následující:

- Kořen by mohl být # z = 1 + i #

Ale odpovídající faktor by byl # z- (1 + i) #

Druhým trikem je, že faktoringem #P (z) # měli bychom něco takového dostat:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Dále rozbalte závorky, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Dále to porovnáme s původním polynomem #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z3 + z2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Vzhledem k tomu, že tyto dva polynomy jsou identické, porovnáváme koeficienty # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #a # z ^ 0 #(konstantní termín) na obou stranách,

Vlastně musíme jen vybrat jednu rovnici a vyřešit ji #A#

Vyrovnání konstantních termínů, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Poslední kořen je tedy #color (modrá) (z = 1) #