Jaké je koncové chování funkce f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> t tak jako #x -> počet (#ln (x) # roste bez vázání jako #X# roste bez vazby) a #f (x) = ln (x) -> - infty # tak jako #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # roste bez vázání v negativním směru jako #X# se blíží nule zprava).

Chcete-li prokázat první skutečnost, musíte v podstatě ukázat, že rostoucí funkce #f (x) = n (x) # nemá horizontální asymptotu jako #x -> počet.

Nechat #M> 0 # být jakékoliv dané kladné číslo (bez ohledu na to, jak velké). Li #x> e ^ {M} #, pak #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (od té doby #f (x) = ln (x) # je rostoucí funkcí). To dokazuje, že každá vodorovná čára # y = M # nemůže být horizontální asymptota #f (x) = n (x) # tak jako #x -> počet. Skutečnost, že #f (x) = n (x) # je rostoucí funkce nyní znamená, že #f (x) = n (x) -> počet # tak jako # x-> infty #.

Pro prokázání druhé skutečnosti, ať #M> 0 # žádné kladné číslo, takže # -M <0 # je jakékoliv dané záporné číslo (bez ohledu na to, jak daleko od nuly). Li # 0 <x <e ^ {- M} #, pak #f (x) = ln (x) <n (e ^ {- M}) = - M # (od té doby #f (x) = ln (x) # stoupá). To to dokazuje #f (x) = n (x) # dostane pod jakoukoli vodorovnou linii, pokud # 0 <x # je dostatečně blízko nule. To znamená #f (x) = ln (x) -> - infty # tak jako #x -> 0 ^ {+} #.