Poloměr kruhu vepsaného do rovnostranného trojúhelníku je 2. Jaký je obvod trojúhelníku?

Odpovědět:

Obvod se rovná # 12sqrt (3) #

Vysvětlení:

Existuje mnoho způsobů, jak tento problém vyřešit.

Tady je jeden z nich.

Střed kruhu vepsaného do trojúhelníku leží na průsečíku jeho úhlů úhlu. Pro rovnostranný trojúhelník toto je stejný bod kde jeho výšky a medians protínají také.

Jakýkoli medián je dělen průsečíkem s ostatními mediány v poměru #1:2#. Medián, nadmořská výška a úhly úhlu dotyčného rovnostranného trojúhelníku se tedy rovná

#2+2+2 = 6#

Nyní můžeme použít Pythagoreanovu teorém k nalezení strany tohoto trojúhelníku, pokud známe jeho nadmořskou výšku / střední / úhlový bisector.

Pokud je strana #X#, z Pythagoreanovy věty

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Z tohoto:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Obvod se rovná třem stranám:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Odpovědět:

Obvod se rovná # 12sqrt (3) #

Vysvětlení:

Alternativní způsob je uveden níže.

Předpokládejme, že náš rovnostranný trojúhelník je #Delta ABC # a to je střed vepsaného kruhu #Ó#.

Nakreslete medián / altitude.angle z vrcholu #A# bod #Ó# až se protíná strana #PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM# v bodě # M #. Očividně, # OM = 2 #.

Zvažte trojúhelník #Delta OBM #.

To je že jo od té doby #OM_ | _BM #.

Úhel # / _ OBM = 30 ^ o # od té doby # BO # je úhel osy # / _ ABC #.

Boční # BM # je polovina strany #PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM# od té doby #DOPOLEDNE# je medián.

Teď můžeme najít # OB # jako přepona v pravém trojúhelníku s jedním ostrým úhlem rovným # 30 ^ o # a katetus opačný k tomu stejný #2#. Tato přepona je dvakrát tak dlouhá jako tato katétr, to znamená #4#.

Mají hypotézu # OB # a katetus # OM #, najdi další katetus # BM # Pythagoreanova věta:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Proto,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Obvod je

# 3 * BC = 12sqrt (3) #