Odpovědět:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Vysvětlení:
První # t = cosx #.
# y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Teď dokončme toto náměstí, abychom to dokázali.
# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Všimněte si, že # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #
Takže chceme přidat #49/4# do výrazu a odečtěte ji znovu.
# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Všimněte si, že #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Všimněte si toho # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Teď máme rozdíl čtverců a můžeme je přepočítat jako jeden.
#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Pokud si přejeme, můžeme přinést společný faktor #1/2# z každé části:
# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Odpovědět:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
Vysvětlení:
nechat # u = cos (x) #
Otázkou se pak stává:
Faktor # u ^ 2 + 7u + 8 # můžete zde použít pouze kvadratický vzorec, tj. # u = frac {-b pm sq (b ^ 2-4ac)} {2a} #
nebo byste to mohli udělat dlouhou cestu (což není lepší než vzorec, ve skutečnosti je to jedna z metod, která se používá k formulaci kvadratického vzorce):
najít dva kořeny, # r_1 # a # r_2 # takové # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Rozšířit: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Tím pádem: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
a proto: # - (r_1 + r_2) = 7 # a # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Tudíž je faktickou formou # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
sub # u = cos (x) # dostat:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
