Co je antiderivát 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Odpovědět:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Vysvětlení:

Takže tady máme integrál:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Zdá se, že podoba kvadratického vzájemného vztahu naznačuje, že zde bude fungovat goniometrická substituce. Takže nejprve vyplňte čtverec, abyste získali:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Pak použijte substituci #u = x-1 # odstranit lineární:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Můžeme tedy bezpečně měnit proměnné bez nežádoucích vedlejších účinků:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Toto je ideální forma pro provedení goniometrické substituce; # u ^ 2 + 1 # navrhuje Pythagorean Identity # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, takže aplikujeme substituci #u = tantheta # zjednodušit jmenovatele:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Tak se integrál stává:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Nyní používáme vzorec pro dvojitý úhel # cos # aby byl tento antiderivát lépe zvládnutelný:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Pak to vložte do integrálu:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (a znovu to s dvojitým úhlem vzorce pro #hřích#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Nyní, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Nakonec se dostaneme k bodu:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #