Jaký je rozdíl mezi antiderivátem a integrálem?

Neexistují žádné rozdíly, obě slova jsou synonymní.

Záleží na několika věcech. Který antiderivativní, obecný nebo konkrétní? který integrální definitivní nebo neurčitý? A kdo se ptáme?

Obecný integrální a neporušitelný integrál:

Mnoho matematiků nerozlišuje neurčitý integrál a obecný antiderivát. V každém případě pro funkci #F# odpověď je #F (x) + C # kde #F '(x) = f (x) #..

Někteří (například autor učebnice James Stewart) dělají rozdíl. Co Stewart označuje jako "nejobecnější" antiderivát #F#, připouští různé konstanty při každém přerušení #F#. Například by odpověděl, že nejobecnější antiderivace # 1 / x ^ 2 # je po částech definovaná funkce:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # pro #x <0 # a # (- 1) / x + C_2 # pro #x> 0 #.

Neomezený integrál #F#v této léčbě je vždy antiderivativní v určitém intervalu, na kterém #F# je spojitá.

Tak #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, kde se rozumí, že doména je omezena na určitou podmnožinu buď pozitivních reals nebo podmnožiny negativních reals.

Konkrétní antideriváty

Zvláštním antiderivátem #F# je funkce #F# (spíše než rodina funkcí), pro které #F '(x) = f (x) #.

Například:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # pro #x <0 # a # (- 1) / x + 1 # pro #x> 0 #.

je zvláštním antidervačním činidlem #f (x) = 1 / x ^ 2 #

A:

#G (x) = (- 1) / x-3 # pro #x <0 # a # (- 1) / x + 6 # pro #x> 0 #.

je jiné specifické antidervační činidlo #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Definitivní integrály

Konečný integrál #F# z #A# na # b # není funkce. Je to číslo.

Například:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Pro další komplikovat záležitosti, tento konečný integrál může být najit, používat Fundamentální teorém kalkulu, část 2, tím, že najde / neurčitý integrál / obecný antiderivative nejprve, pak dělat somearithmetic.) T

Vaše otázka souvisí s tím, co bylo skutečně "klíčovým vhledem" ve vývoji počtu Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem.

Tento pohled, který se zaměřuje na funkce, které nejsou nikdy negativní, může být formulován jako: „Antideriváty lze použít nalézt oblasti (integrály) a oblasti (integrály) definovat Toto je podstata Základní věty kalkulu.

Bez obav z Riemann součtů (koneckonců, Bernhard Riemann žil téměř 200 roků po Newtonovi a Leibniz stejně) a brát ponětí o oblasti jako intuitivní (undefined) pojetí, pro nepřetržitou non-negativní funkce t #f (x) q 0 # pro všechny #X# s #a q xq b #, jen si představte určitý integrální symbol # {}} {b} f (x) dx # jako reprezentující oblast pod grafem #F# a nad #X#-axis mezi # x = a # a # x = b #. Pokud je jiná funkce #F# lze nalézt tak, že #F '(x) = f (x) # pro všechny #a q xq b #, pak #F# se nazývá antiderivace #F# přes interval # a, b # a rozdíl #F (b) -F (a) # rovná hodnotě určitého integrálu. To znamená, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Tato skutečnost je užitečná pro nález hodnota určitého integrálu (oblasti), když lze nalézt vzorec pro antiderivaci.

Naopak, pokud nastavíme horní hranici integrálního symbolu na proměnnou, voláme ji # t #a definovat funkci #F# podle vzorce #F (t) = int {a} ^ {t} f (x) dx # (tak #F (t) # je opravdu oblast pod grafem #F# mezi # x = a # a # x = t #, za předpokladu #a q tq b #), pak tato nová funkce #F# je dobře definovaná, diferencovatelná a #F '(t) = f (t) # pro všechna čísla # t # mezi #A# a # b #. Použili jsme integrál definovat antiderivativní #F#. Tato skutečnost je užitečná pro aproximaci hodnot antiderivativu, když pro něj nelze nalézt žádný vzorec (pomocí numerických integračních metod, jako je Simpsonovo pravidlo). Například po celou dobu používají statistici při sbližování oblastí pod křivkou Normal. Hodnoty speciálního antiderivátu standardní Normální křivky jsou často uvedeny v tabulce ve statistických knihách.

V případě, že #F# má záporné hodnoty, určitý integrál musí být považován za termín "podepsané oblasti".