Jaké jsou běžné chyby, které studenti dělají s elipsy ve standardní podobě?

Standardní formulář pro elipsu (jak to učím) vypadá takto: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) je střed.

vzdálenost "a" = jak daleko doprava / doleva se pohybuje od středu k nalezení horizontálních koncových bodů.

vzdálenost "b" = jak daleko nahoru / dolů se pohybujete od středu k nalezení svislých koncových bodů.

Myslím si, že si to studenti často mylně myslí # a ^ 2 # je to, jak daleko se vzdálit od centra, aby bylo možné najít koncové body. Někdy by to byla velmi velká vzdálenost k cestování!

Také si myslím, že někdy se studenti omylem pohybují nahoru / dolů namísto pravého / levého při použití těchto vzorců na své problémy.

Zde je příklad, jak hovořit o:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Centrum je (1, -4). Měli byste se pohybovat doprava a doleva "a" = 2 jednotky, abyste dostali vodorovné koncové body na (3, -4) a (-1, -4). (viz obrázek)

Měli byste se pohybovat nahoru a dolů "b" = 3 jednotky, abyste dostali vertikální koncové body na (1, -1) a (1, -7). (viz obrázek)

Protože a <b, hlavní osa bude ve svislém směru.

Pokud a> b, hlavní osa bude probíhat ve vodorovném směru!

Pokud potřebujete zjistit další informace o elipsách, zeptejte se další otázky!

(Zmatek, zda #A# a # b # reprezentují hlavní / vedlejší poloměry nebo #X#- & # y #-radii)

Připomeňme, že standardní formulář pro elipsu střed je

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Někteří však již mají problém s výše uvedeným vzorcem. Nějaké myšlenkové školy to drží #A# by měla být vždy větší než # b # a tedy představují délku hlavního poloměru (i když hlavní poloměr leží ve vertikálním směru, což umožňuje # y ^ 2 / a ^ 2 # v takovém případě), zatímco jiní se domnívají, že by měl vždy představovat #X#-radius (i když #X#-radius je menší poloměr).

Totéž platí # b #, i když v opačném směru. (tj. někteří tomu věří) # b # by měl být vždy menší poloměr a jiní věří, že by to mělo být vždy # y #-poloměr).

Ujistěte se, že víte, jakou metodou dává přednost váš instruktor (nebo program, který používáte). Pokud neexistuje žádná silná preference, pak se jednoduše rozhodněte sami, ale být v souladu s vaším rozhodnutím. Změnou mysli v polovině úkolu se věci stanou nejasnými a změnou mysli v polovině jediného problém povede pouze k chybám.

(Zmatek poloměru / osy)

Zdá se, že většina chyb v elipsách vyplývá z tohoto zmatku, který okruh je velký a který je menší. Další možné chyby mohou vzniknout, pokud si zaměníte hlavní poloměr s hlavní osou (nebo menší poloměr s vedlejší osou). Hlavní (nebo menší) osa se rovná dvojnásobku hlavního (nebo menšího) poloměru, protože je to v podstatě hlavní (nebo menší) průměr. V závislosti na kroku, ve kterém k tomuto zmatku dochází, to může vést k vážným chybám v měřítku pro elipsu.

(Radius / radius squared confused)

Podobná chyba nastane, když studenti zapomínají, že jmenovatelé (# a ^ 2, b ^ 2 #) jsou čtverce poloměrů a nikoli samotné poloměry. Není neobvyklé vidět studenta s takovým problémem # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # nakreslit elipsu #X#-radius 9 a # y #-radius 4. Dále to může nastat ve spojení s výše uvedenou chybou (zmatení poloměru pro průměr), což vede k výsledkům, jako je student s výše uvedenou rovnicí, která kreslí elipsu s hlavním průměrem 9 (a tedy hlavní poloměr 4,5), namísto správného hlavního průměru 6 (a hlavního poloměru 3).

(Zmatek hyperboly a elipsy) VAROVÁNÍ: Odpověď je poměrně dlouhá

Další relativně běžná chyba nastane, pokud si jeden nepamatuje vzorec pro elipsu. Konkrétně se zdá, že nejběžnější z těchto chyb nastává, když si zaměňuje vzorec pro elipsy s tím, co je pro hyperbola (což je, vzpomenout, je # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # nebo # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # pro ty, kteří se soustředili na původ, opět podléhající výše uvedeným úmluvám o označování os. K tomu pomáhá zapamatovat si definici elips a hyperbolasů jako kuželových úseků.

Konkrétně, připomenout, že elipsa je lokus bodů vztahujících se ke dvěma ložiskům # f_1 & f_2 # leží podél hlavní osy tak, že pro libovolný bod # p # na lokusu, vzdálenost od # p # na # f_1 # (označeno # d_1 #) plus vzdálenost od # p # na # f_2 # (označeno # d_2 #) se rovná dvojnásobku hlavního poloměru (tj. pokud #A# je hlavní poloměr, # d_1 + d_2 = 2a #). Dále vzdálenost od středu k jednomu z těchto ohnisek (někdy nazývaná poloviční ohniskové oddělení nebo lineární excentricita), za předpokladu #A# je hlavní poloměr, se rovná #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Naproti tomu hyperbola je místem, kde se body vztahují ke dvěma fokusům takovým způsobem, že pro bod # p # na lokusu, absolutní hodnota rozdíl vzdálenost mezi bodem a prvním zaostřením a vzdálenost bodu od druhého zaostření je rovna dvojnásobku hlavního poloměru (tj. s.) #A# hlavní poloměr, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Dále, vzdálenost od středu hyperboly k jednomu z těchto ohnisek (někdy, někdy nazvaný lineární excentricita, a ještě předpokládat #A# větší poloměr) se rovná #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Pokud jde o definici kuželových úseků, celkový excentricita #E# sekce určuje, zda se jedná o kruh (# e = 0 #), elipsa (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #) nebo hyperbola (#e> 1 #). Pro elipsy a hyperbola lze excentricitu vypočítat jako poměr lineární excentricity k délce hlavního poloměru; tak pro elipsu to bude #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (a tedy nutně menší než 1) a pro hyperbola to bude #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (a tedy nutně větší než 1).