Trojúhelník má rohy A, B a C umístěné na (3, 5), (2, 9) a (4, 8). Jaké jsou koncové body a délka nadmořské výšky procházející rohem C?

Odpovědět:

Koncové body #(4,8)# a #(40/17, 129/17) # a délku # 7 / sqrt {17} #.

Vysvětlení:

Jsem zřejmě odborníkem na zodpovězení dvouletých otázek. Pokračujme.

Nadmořská výška přes C je kolmá k AB přes C. t

Existuje několik způsobů, jak toho dosáhnout. Můžeme vypočítat sklon AB as #-4,# pak sklon kolmice je #1/4# a můžeme najít shodu kolmice přes C a čáru přes A a B. Zkusme jiný způsob.

Řekněme nohu kolmé #F (x, y) #. Známe bodový součin směru vektoru CF s vektorem směru AB je nula, pokud jsou kolmé:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

To je jedna rovnice. Další rovnice říká #F (x, y) # je na řádku přes A a B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Setkávají se, když

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Délka CF nadmořské výšky je

#h = sq {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Podívejme se na to výpočtem oblasti pomocí vzorce tkaničky a následným řešením výšky. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #